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漫谈微积分

来源:UC论文发表网2019-05-26 09:42

摘要:

  摘要:微积分的思惟办法是17世纪发生的关键性的数学思惟办法,不只是门生以后学习高等数学,和很多数学分支的基础,对付造就门生的数学思维,增强门生的解题能力也有很大的增进感化。微积分作为一个壮大的对象,也可以或许或许帮助咱咱咱们解决一些用初等数学思惟处理比较繁琐的数学成就。  关键词:微积分,特色,教学办法  作者:刘芳,徐丽  一、微积分的特色  1.可使状况与过程同一。  微积分是十七世纪数学所到达的...

  摘要:微积分的思惟办法是17世纪发生的关键性的数学思惟办法,不只是门生以后学习高等数学,和很多数学分支的基础,对对炀门生的数学思维,增强门生的解题能力也有很大的增进感化。微积分作为一个壮大的对象,也可以或许帮助咱咱咱们解决一些用初等数学思惟处理比较繁琐的数学成就。


  关键词:微积分,特色,教学办法


  作者:刘芳,徐丽


  一、微积分的特色


  1.可使状况与过程同一。


  微积分是十七世纪数学所到达的最高成就。微积分出现以后,逐渐显示出它不凡的威力,曩昔很多数学家束手无策的成就,至此迎刃而解。恩格斯指出:“只要微分学能力使自然科学有可能用数学来不只表明状况,而且也表明过程:运动。”然而,在十九世纪曩昔,微积分实践历史睁开不停包含着矛盾:一方面纯粹阐发及其应用领域中呈现出一个接一个的弘大发现与成就,另外一方面则是基础实践的含糊性。事实上,不管是牛顿还是莱布尼兹,他咱咱们对微积分所作的论证都是不十分谨严的和清楚的。在欧洲大陆方面,莱布尼兹的含糊也招致了尼文,荷兰哲学家的反对荷兰的物理学家和几何学家纽文也就一系列成就公开提出质问:无穷小量与零怎样差别?无穷个无穷小量之和为什么可以或许是有限量?在推理过程中为什么能舍弃无穷小量?包含一大批数学家也群起而攻之。尽管他咱咱们承认微积分的效用,观赏微积分的美学价值,但却不能容忍这种办法的实践自己如斯含糊甚至令人觉得荒谬。法国数学家罗尔微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思惟家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的,他咱咱们虽然没有给微积分以严厉的基础,但他咱咱们的论点都有一定道理,在一定程度上它勉励了微积分进一步的打造性工作。例如突变函数论、非线性泛函阐发等学科的树立。因此,人咱咱们追求数学美,以到达精力上的愉悦,而这一点恰是颠末过程数学家颠末数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”,而最终到达完备的“同一美”和“协调美”。


  2.可使阐发与几何同一。


  微积分的本原成就是指它同实际世界的相干成就,即它是发生于存在还是发生于克嘉的成就。唯物主义与唯心主义有着基本分歧的看法。唯心主义认为纯数学发生于克嘉。全体纯数学可以或许先验地,不需利用内部世界给咱咱咱们供给的经验,而新脑中构思进去。杜林、康德、克莱等唯心主义者便是这种概念的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创建者。他咱咱们分离在研究质点运动和曲线的性质中,不自发地把客观世界中的运动成就引进了数学,各自自力地创建了微积分。这个功劳是应该确定的。但是,他咱咱们没有很好地注意到微积分同实际世界的自迪干。其运算动身点是先验的。所以,马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为,微积分同统统的科学一样,它起源经验,然后又脱离内部世界,具有高度形象性和相对自力性的一门崭新的科学。恩格斯指出:“数学是从人的必要中发生的。”微积分是从临盆斗争和科学试验的必要中发生的。临盆实践对微积分的创建起着决定性感化。从十五世纪开端,本钱主义在西欧封建社会内部逐渐构成。到十七世纪,本钱主义临盆办法有了弘大睁开。跟着临盆睁开,自然科学技术也雨后春笋般地睁开起来了。它咱咱们跑进去向数学敲门,提出了大批研究新课题。微积分的创建便是为了处理十六、十七世纪在临盆实践和科学试验中所碰到的一系列新成就。


  3.可以或许或许是极限实践成熟。


  中国《庄子?世界篇》中“一尺之棰”、Zeno悖论、Endoxus的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思惟有间接相干,但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪,很多数学家为掩护微积分的应用价值和美学价值,在回击来自数学界内外的攻击同时,竭尽所能使微积分在实践上周密化、逻辑化,在情势上更趋完善。在十八世纪后期,很多数学家,分外是英国数学家老是企图使微积分与欧几里得几何结合起来,他咱咱们试图借助于几何学中论证之谨严体系去完善微积分。但这一极力是失败的,打破这一僵局的大数学家欧拉,他以代数办法研究微积分,力图釉墼勖情势演算办法代替累赘的几何语言,使微积分树立在算术和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”睁开为一种极限概念,并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限实践作为微积分的实践基础,这一思惟在数学界发生了极其深远的影响。直到1821年以后,柯西出版了《阐发教程》、《无穷小计算讲义》、《无穷小计算在几何中应用》这几部具有划时代意义的名著之后,微积分一系列基础概念及定理正式地确定下来。自此以后,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也树立较松软的实践基础之上――极限实践。咱咱咱们如今所谓的极限的柯西定义颠末维尔斯特拉斯的加工才实现的。柯西把全体极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算化为一系列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的不等式停止了整理,构成为了微积分的谨严之美。


  二、微积分教学的办法


  1.赓续增强变量概念的教学,树立以变量为思维对象的数学观。


  因为门生在长期的数学学习中接触的均为常量,即使在学习阶段体系学习函数、自变量,并研究了一些基本函数的性质和图像,但其思维和认识办法仍然比较习惯于常量,常量数学在头脑中已根深蒂固。所以在构造教学时,需增强变量概念的教学,让门生逐渐认识和顺应变量,并能思虑变更过程。当然,这就必要咱咱咱们在教学中要分外注意将变量及其变更讲解清楚。


  2.要以直观描述为主,勉励“合情推理”和“合情猜想”。


  这也是我认为的微积分在中学教学中较为正当的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主,以控制办法、计算为主,对实践上的谨严性不宜请求过高,更无须严厉的证明。触及的一些概念和结论,既要使门生正确地懂得和控制,又要适可而止。例如,极限中最基本的一个结论,门生颠末过程作图很容易从孤立点的变更趋向获得此结论。


  3.防止微积分教学退化成仅让门生记住一些公式和结论。


  考虑到门生的导食潭,不必要在实践上过分请求严厉。但不管是用直观图形引入还是给予一定的推理,都应让门生主动地介入,引导门生观察和发现图形的“变更趋向”或亲主动手停止推导。如许才有利于造就门生的“变量思维”,感受微积分的内在和与初等数学的差异。否则,如果为了“体贴”门生或纯粹的“应试生理”,微积分教学变成为了让门生在不懂得的状况下死记一些公式和结论,那么微积分教学就失去了意义和价值,门生的能力也不会获得提高。


  微积分有着鲜明的本原成就,是十分深奥的,如何能精准地懂得微积分,并能把他咱咱们应用到教学中,教师应该赓续学习,赓续深入地去懂得、领会。


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