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微积分的应用

来源:UC论文发表网2019-05-26 09:43

摘要:

  摘要:微积分是微分学和积分学的合称,发生于17世纪后半期,基本实现于19世纪,它不只是阐发学的基础部分,而且是现代数学的基础部分,在各领域中有着普遍应用.本文重要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.  关键词:微积分泰勒公式应用  1.(带皮亚诺型余项的)泰勒公式其应用  定理若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)  R(...

  摘要:微积分是微分学和积分学的合称,发生于17世纪后半期,基本实现于19世纪,它不只是阐发学的基础部分,而且是现代数学的基础部分,在各领域中有着普遍应用.本文重要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.


  关键词:微积分泰勒公式应用


  1.(带皮亚诺型余项的)泰勒公式其应用


  定理若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么


  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)


  R(x)=0(x)


  这便是函数f(x)在x=0点附近对付x的幂函数睁开式,也叫泰勒公式,式中R(x)叫做皮亚余项.


  下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.


  例1.求


  解:因为cosx=1-++0(x)


  e=1+(-)+(-)+0[(-)]=1-++0(x)


  从而cosx-e=-+0(x)


  于是===-


  2.在微分方程中的应用


  例2.设函数f(u)具有连续导数,而z=f(esiny)称心+=ez,求f(u).


  阐发:设z=f(u),u=esiny,用一个中央变量代替两个自变量.


  解:设z=f(u),u=esiny,则=f′(u)=f′(u)esiny


  =f″(u)esiny+f′(u)esiny,=f′(u)ecosy


  =f″(u)ecosy-f′(u)esiny


  +=f″(u)esiny+f″(u)ecosy=f″(u)e=ez


  即得f″(u)-f(u)=0,这是对付未知函数f(u)的二阶常系数线性齐次微分方程.


  特征方程:r-1=0,r=-1,r=1,通解为f(u)=ce+ce.


  3.积分在几何中的应用


  例3.求椭圆+=1所围成图形的面积.


  解:因为椭圆对付两坐标轴都对称,所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.如许,椭圆面积A=4ydx=4dx=4bdx


  用换元法,令x=asint,则dx=acostdt.且x=0时t=0;x=a时t=,从而


  A=4abcostdt=4abcostdt


  =2ab(1+cos2t)dt=2ab=πab


  4.在经济中应用最大利润成就


  例4.某公司投资2000万元,建成一条临盆线,投产后,其追加本钱和追加支出(分离是本钱函数和支出函数对光阴t的变更率,类似于边际函数概念)分离为G(t)=5+2t(百万元/年)Φ(x)=17-t(百万元/年).试确定该临盆线应用多长光阴停产可使公司获得最大利润?最大利润是多少?


  解:容易看出,追加本钱G(t)是单调增函数而追加支出Φ(x)是单调减函数,这说明临盆用度在逐年增长,而临盆支出在逐年削减,二者之差即为临盆利润随光阴的变更率:


  G(t)-Φ(x)=17-t-5+2t=12-3t


  与边际本钱和边际支出的相干相同,这里临盆利润的最大值在的必要条件也是G(t)=Φ(x).


  解之得t=8,因为临盆利润对光阴的二阶导数=[Φ(x)-G(t)]′=-2t<0,因此上述t=8是临盆利润的最大值点.如许,临盆利润的最大值(单位:百万元)为


  [Φ(x)-G(t)]dt-20=12-3tdt-12


  =38.4-20=18.4百万元


  即临盆线应用在应用8年后停产,此时公司总利润为1840万元.


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