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级数与微积分

来源:UC论文发表网2019-05-26 09:56

摘要:

  摘要:微积分的睁开与无穷级数的研究密不行分,它咱咱们在办法和实践上是共同睁开和成熟起来的,且在其睁开过程中吸引了很多数学家对它咱咱们的研究并带来了丰富的效果。关键词:级数;微积分;等价物;研究;睁开  中图分类号:O172文献标识码:A  级数实践是数学阐发的一个分支,它与微积分一路构成数学阐发的两部分基本内容,两者都因此极限为基本对象,分离从连续和离散两个方面来研究函数,这在认识自然或办法论角度都具...

  摘要:微积分的睁开与无穷级数的研究密不行分,它咱咱们在办法和实践上是共同睁开和成熟起来的,且在其睁开过程中吸引了很多数学家对它咱咱们的研究并带来了丰富的效果。关键词:级数;微积分;等价物;研究;睁开


  中图分类号:O172文献标识码:A


  级数实践是数学阐发的一个分支,它与微积分一路构成数学阐发的两部分基本内容,两者都因此极限为基本对象,分离从连续和离散两个方面来研究函数,这在认识自然或办法论角度都具有基本的重要意义。


  从纯数目上,一个无穷级数等同于一个无穷限的广义积分。


  微积分的睁开与无穷级数的研究密不行分。分外是在牛顿、莱布尼兹创建微积分初期,很大程度上是依赖于对级数的随意的、从容的应用,牛顿在他的流数论中从容利用无穷级数,他凭仗二项式定理获得了sinx,cosx,tanx,arcsinx,arctanx和ex等很多函数的级数。泰勒级数则供给了将函数展成无穷级数的一样平常办法。在18世纪,各种初等函数的级数睁开持续获得,并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的无力对象,级数和微积分在办法和实践上是共同睁开和成熟起来的。


  级数被视为无穷多项式,这新概念中的艰难,很长时期没有被认识,欧拉?拉格朗日曾相信每个函数都显然的可以或许或许表示为级数,并今后动身树立微积分实践,尽管这没能胜利,而作为一种数学办法的睁开,或作为从离散角度认识自然的办法,却是很重要的,积分与级数成为自然界连续和离散辨证相干的典型表示。


  微积分创建的初期就为级数实践的睁开供给了基本的素材。它颠末过程自己的基本运算与级数运算的纯情势的结合,到达了一批初等函数的幂级数睁开。今后以后级数便作为函数的阐发等价物,用以计算函数的值。用以代表函数加入运算,并所得结果阐释函数的性质。在运算过程中,级数被视为多项式的间接的代数履行,而且也就当作通常的多项式来看待。这些基本概念的积极利用不停持续到十九世纪初年,导致了丰富的效果,这重要归功于欧拉,詹姆士,伯努利,拉格朗日,傅立叶。


  同时,悖论性等式的不时出现促使人咱咱们逐渐地自发到级数的无穷多项之和有别于有限项之和这一基本矛盾,注意到函数的级数睁开的有用性表示为级数的部分和无穷趋近于函数值这一收敛现象,提出了收敛定义的确切陈述,从而开端了数学阐发的周密化运动。


  傅立叶在1811年的论文中,和在他的《热的解析实践》中,首先给出了无穷级数收敛的定义。


  1812年高斯在他的论文《无穷级数的一样平常研究》中给出了超几何级数F(α,β,γ,x)的收敛判别原则。


  以后柯西在他的“阐发教程”中给出了驰名的柯西收敛原则,并给出了比值判别法和根式判别法。


  1826年阿贝尔研究了幂级数的收敛成就,给出了驰名的阿贝尔定理。


  微积分基本运算与级数运算结合的必要,引导人咱咱们增强或缩小收敛性而提出同等收敛的概念,然而函数的级数睁开,作为一全体函数的阐发等价物,在收敛规模以外的赓续的胜利的应用,则又迫使人咱咱们履行或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性。


  十九世纪初期,法国科学家傅立叶在研究热的传导中,已经引入一类“周期性变更的”函数f(x)表示为无穷多个三角函数sinnx或cosnx(n=1,2,3…)的和。于是找出函数具有收敛的傅立叶级数的确切条件便成为数学家的首要任务。


  迪里克雷于1822-1825年之间研究了傅立叶级数,并在一篇基本的论文“对付三角级数的收敛性”中给出了一个确定f(x)的傅立叶级数是收敛的而且收敛到f(x)的第一组充足条件,即迪里克雷条件。


  1854年黎曼在哥廷根为获得大学传授资格写了一篇试用短文,题目是《用三角级数来表示函数》,他的偏向是找出函数f(x)必需称心的充要条件使在区间[-π,π]中的一点处f(x)的傅立叶级数收敛到f(x)。黎曼还证明了基本定理:如果f(x)在[-π,π]上有界且可积,则傅立叶级数系数。


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