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蝴蝶效应的数学模子

来源:UC论文发表网2019-05-26 10:29

摘要:

  【摘要】所谓蝴蝶效应是指一个很小的扰动,在特定条件下可能被赓续放大的一种现象.本文颠末过程对牛顿迭代法混沌能源特性的研究,发现一个混沌能源常数,并由此给出一个蝴蝶效应的数学模子.  【关键词】单纯区间;单纯点;单纯点树列;倍率  作者:廖君华,姚振宇  混沌能源学是复杂性科学的一个重要分支,也是近三十年来的一个热门学科.混沌(Chaos)是指发生在确定性体系中的貌似随机的不规矩运动.一个确定性实践...

  【摘要】所谓蝴蝶效应是指一个很小的扰动,在特定条件下可能被赓续放大的一种现象.本文颠末过程对牛顿迭代法混沌能源特性的研究,发现一个混沌能源常数,并由此给出一个蝴蝶效应的数学模子.


  【关键词】单纯区间;单纯点;单纯点树列;倍率


  作者:廖君华,姚振宇


  混沌能源学是复杂性科学的一个重要分支,也是近三十年来的一个热门学科.混沌(Chaos)是指发生在确定性体系中的貌似随机的不规矩运动.一个确定性实践描述的体系,其行为却表示为不确定性、不行重复、不预测,这便是混沌现象.混沌是非线性体系的固有特性,是非线性体系普遍存在的现象,牛顿确定性实践可以或许处理的多为线性体系,而线性体系大都由非线性体系简化而来.因此,在实际生活和实际工程技术成就中,混沌是无处不在的.


  混沌现象末了是由美国气象学家洛伦茨,在20世纪60年月初研究天气预报中大气活动成就时偶然发现的.1963年,Lorenz在《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”一文,指出在气候不能精确重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着一种联系,这便是非周期与不预见性之间的联系.他还发现了混沌现象“对初始条件的极端敏性”.这可以或许或许生动地用“蝴蝶效应”来比喻:在做气象预报时,只要一只蝴蝶扇一下翅膀,这一扰动,就可能在很远的另外一个地方构成非常大的差异甚至引起风暴,将使长光阴的预测无法停止.


  以函数f(x)=x3-x为例,用牛顿迭代法求其零点.计算结果表明,当初始值取在分歧区间上时,迭代将会收敛于分歧的值.本文探究这此中更深入的量化规律性.


  因为f(x)是奇函数,仅在[0,+∞)区间上取初始值作牛顿迭代法计算,下表所列因此步长b=10-14停止搜索获得的结果:(程序采纳双精度停止计算,步长b虽可再低落两个数目品级,但考虑到计算误差,仅取b=10-14)


  定义1表中的各区间称为收敛于其迭代结果的单纯区间.


  例如I5(第五号区间)是收敛于+1的单纯区间.


  定义2收敛于分歧值单纯区间的分界点称为单纯点.


  若以xi表示单纯区间Ii的左端点,则除了x20=0外,统统xi都是单纯点.而收敛于零的单纯区间是(-x19,x19),所以x20不是单纯点.另外,x1正巧是函数f(x)的驻点.


  定义3称单纯点构成的数列为单纯点数列.


  规律1单纯数列是单调有界的.


  规律2在单纯区间中,除末了一个I20是收敛于零之外,其余的单纯区间交错收敛于+1和-1.


  计算表中从I2到I19各相邻单纯区间的长度之比,获得如下数列:


  7.26,6.18,6.03,6,6,6,6,6,5.99,6,5.99,6,5.99,5.99,6,6.33,3.


  这一数列的主基调显著是6,第一项偏离的原因与x1是驻点无关,末了一项偏离的原因与计算精度无关.


  定义4在以上数列中,去掉第一项与末了一项之后的平均值称之为函数f(x)的倍率.


  这反映了牛顿迭代法的混沌能源学特性.


  规律3函数f(x)=x3-x在[0,+∞)上具有倍率6.


  因为f(x)是奇函数,所以有


  规律4函数f(x)在(-∞,0]上的单纯区间与[0,+∞)上的单纯区间以x=0点为对称,但迭代收敛值互为相反数.在x=0点两旁具有相同的倍率,即f(x)在(-∞,+∞)上倍率为6.


  (上述结论已有严厉的数学证明,将另行发表)


  规律5因为单纯区间的长度以1[]6的等比率递减,所以单纯点数列在[0,+∞)上存在一个极限点λ,在(-∞,0]上存在一个极限点-λ.(上表中x19便是λ的近似值)


  综上所述,f(x)有两个驻点±x1,两个极限点±λ.(-∞,-x1]是收敛于-1的单纯区间,(-λ,λ)是收敛于零的单纯区间,[x1,+∞)是收敛于+1的单纯区间.而区间(-x1,-λ)与(λ,x1)则是对初始值高度敏感的地区,或称之为混沌地区.在混沌地区中单纯区间的长度以16比率无穷减小,而单纯点数列无穷逼近于极限点.这表明在极限点附近一个无穷小的扰动,将会引起迭代结果在分歧点之间的剧烈震荡.这恰是蝴蝶效应.也便是的侵在几千公里之外引起大风暴的蝴蝶,应该在极限点附近扇动翅膀.

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